Характеристический многочлен

Не всякий линейный оператор имеет по крайней мере один собственный вектор.

Примеры:

1. В качестве линейного пространства X возьмем множество всех многочленов степени меньшей или равной n. Оператор дифференцирования – оператор, действующий из X в X. если только это не константа, если , то. Этот оператор не имеет собственных векторов, отличных от многочленов нулевой степени.

2. Оператор А, действующий в пространстве V₂ – радиус-векторов и осуществляющий поворот на каждого из векторов на некоторый угол, отличный от p, против часовой стрелки не имеет собственных векторов.

Займемся исследованием вопроса о существовании собственных векторов оператора.

Прежде всего выведем уравнение, которому удовлетворяют все собственные значения l линейного оператора,.

Пусть l – собственное значение, соответствующее собственному вектору .

Тогда, (1)

По определению, собственный вектор отличен от, тогда из равенства (1) следует, что оператор – вырожден. Т.о. собственные значения оператора А – это те и только те элементы l поля Р, для которых оператор – вырожден.

Пусть – какой-либо базис линейного пространства X. – матрица оператора в этом базисе. Оператор – вырожден тогда, и только тогда, когда вырожденной является матрица, т.е. тогда, когда (2).

В самом деле, известен следующий критерий невырожденности. Оператор А, действующий в некотором линейном пространстве, будет невырожденным, если определитель матрицы этого оператора отличен от 0.

Теорема 10: Числа l, удовлетворяющие уравнению (2), не зависят от выбора базиса в линейном пространстве X.

Доказательство: Пусть в X выбран еще один базис – и пусть –матрица линейного оператора в базисе f.

Пусть Q – матрица преобразования координат от базиса e к базису f.

Тогда, как известно, матрицы одного и того же оператора связаны соотношением:, Q – невырожденная матрица, тогда:

Т.о. числа l, удовлетворяющие уравнению (2), не зависят от выбора базиса в линейном пространстве X.

Рассмотрим оператор ,, и в X задан базис , в котором матрица оператора А выглядит следующим образом: .

является многочленом степени m относительно l, т.е. можно записать: .

Легко видеть, что наивысшая степень l достигается только при умножении элементов главной диагонали, откуда видно, что коэффициент при равен 1.

Определение: Функция (3) называется характеристическим многочленом оператора. Таким образом, с каждым линейным оператором А связывается характеристический многочлен. Верно и обратное, что всякий многочлен вида (3) является характеристическим многочленом некоторого оператора.

1. Пусть .

Рассмотрим – эта матрица определяет линейный оператор. Посчитаем .

2. , .

3.

Для того, чтобы элемент l поля Р был собственным значением оператора А, необходимо и достаточно, чтобы он был корнем характеристического многочлена, т.е. удовлетворял уравнению: (4). Уравнение (4) называется характеристическим уравнением. Не в любом поле Р любой многочлен с коэффициентами из Р имеет хотя бы 1 корень.

Пример: в поле R корней не имеет.

Определение: Поле Р называется алгебраически замкнутым, если всякий многочлен с коэффициентами из поля Р имеет хотя бы один корень, принадлежащий этому полю. Т.о., если линейный оператор действует в X над алгебраически замкнутым полем Р, то он имеет хотя бы один собственный вектор.