Эквивалентные матрицы

Две матрицы, А и В, одинаковых размеров, называются эквивалентными, если существуют две невырожденные матрицы R и S, такие, что (1).

Пример: Две матрицы, соответствующие одному и тому же оператору при различных выборах базисов в линейных пространствах X и Y эквивалентны.

Ясно, что отношение, определенное на множестве всех матриц одного размера с помощью вышеприведенного определения является отношением эквивалентности.

Теорема 8: Для того, чтобы две прямоугольные матрицы одинаковых размеров были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы они были одного ранга.

Доказательство:

1. Пусть А и В – две матрицы,, для которых имеет смысл . Ранг произведения (матрицы С) не выше ранга каждого из сомножителей.

,

(2)

(3)

Мы видим, что k-ый столбец матрицы С является линейной комбинацией векторов столбцов матрицы А и это выполняется для всех столбцов матрицы С, т.е. для всех . Т.о. , т.е. – подпространство линейного пространства .

Так как и так как размерность подпространства меньше или равна размерности пространства, то ранг матрицы С меньше или равен рангу матрицы А.

В равенствах (2) зафиксируем индекс i и будем придавать k всевозможные значения от 1 до s. Тогда получим систему равенств, аналогичную системе (3):

(4)

Из равенств (4) видно, что i-я строка матрицы С является линейной комбинацией строк матрицы В для всех i, а тогда линейная оболочка, натянутая на строки матрицы С, содержится в линейной оболочке, натянутой на строки матрицы В, а тогда размерность этой линейной оболочки меньше или равна размерности линейной оболочки векторов строк матрицы В, значит, ранг матрицы С меньше или равен рангу матрицы В.

2. Ранг произведения матрицы А слева и справа на невырожденную квадратную матрицу Q равен рангу матрицы А.(). Т.е. ранг матрицы С равен рангу матрицы А.

Доказательство: Согласно доказанному в случае (1) . Так как матрица Q – невырожденная, то для нее существует : и в соответствии с доказанным в предыдущем утверждении .

3. Докажем, что если матрицы эквивалентны, то они имеют одинаковые ранги. По определению, А и В эквивалентны, если существуют такие R и S, что . Так как при умножении А слева на R и справа на S получаются матрицы того же ранга, как доказано в пункте (2), ранг А равен рангу В.

4. Пусть матрицы А и В одинакового ранга. Докажем, что они эквивалентны. Рассмотрим , .

Пусть X и Y – два линейных пространства, в которых выбраны базисы (базис X) и (базис Y). Как известно, любая матрица вида определяет некоторый линейный оператор, действующий из X в Y.

Так как r – ранг матрицы А, то среди векторов в точности r линейно независимых. Не ограничивая общности, можно считать, что – первые r векторов – линейно независимы. Тогда все остальные через них линейно выражаются, и можно записать:

(6)

Определим в пространстве X новый базис , следующим образом: . (7)

Новый базис в пространстве Y следующим образом:

.

Векторы , по условию, линейно независимы. Дополним их некоторыми векторами до базиса Y: (8). Итак (7) и (8) – два новых базиса X и Y. Найдем матрицу оператора А в этих базисах:

Итак, в новой паре базисов матрицей оператора А является матрица J. Матрица А изначально была произвольной прямоугольной матрицей вида , ранга r. Так как матрицы одного и того же оператора в разных базисах эквивалентны, то этим показано, что любая прямоугольная матрица вида ранга r эквивалентна J. Так как мы имеем дело с отношением эквивалентности, этим показано, что любые две матрицы А и В вида и ранга r, будучи эквивалентны матрице J эквивалентны между собой.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №17 (II семестр)

Тема: Собственные значения и собственные векторы. Собственные подпространства. Примеры.

Содержание: