Кольцо операторов

Рассмотрим три линейных пространства X, Y, Z над одним и тем же полем Р. Пусть линейный оператор , . Отображение С, действующее из X в Z, называется произведением операторов В и А и обозначается , если .

Покажем, что отображение С является линейным оператором.

Заметим, что введенная операция умножения не является алгебраической, поскольку произведение операторов определено не для каждой пары, но в случае, когда о произведении операторов говорить имеет смысл, справедливы следующие свойства:

1.

2.

3.

4.

Эти свойства выполняются для и .

Доказательство: Пусть , и поскольку

,

то первое свойство доказано. Аналогично доказываются остальные свойства.

Рассмотрим множество всех линейных операторов, действующих из X в X. Тогда для любых двух операторов, принадлежащих , определена и сумма и произведение. Согласно свойствам 3 и 4, обе эти операции связаны дистрибутивными законами, кроме того, умножение ассоциативно, существует единичный оператор (Е), относительно сложения это множество – абелева группа., следовательно, справедлива теорема.

Теорема: Множество является ассоциативным кольцом с единицей.

Определение: Если для некоторых элементов А и В из множества выполняется , то операторы А и В называются перестановочными, или коммутативными. В частности, единичный оператор перестановочен с любым оператором.

Так как кольцо линейных операторов является также и линейным пространством, то для разности двух линейных операторов справедлива формула: .