Определение линейного оператора. Ядро и дефект линейного оператора

Определение: Пусть даны линейные пространства X и Y над одним и тем же полем Р. Отображение называется линейным оператором, действующим из X в Y, если для .

Примеры:

1. Пусть – два линейных пространства над полем Р. , . (Всякий изоморфизм – линейный оператор)

2. Пусть Е – евклидово пространство над, L – произвольное его подпространство. и – изученные нами свойства данных функций позволяют утверждать, что это - два линейных оператора, действующих между L и , L и L.

3. Отображение, ставящее в соответствие каждому вектору линейного пространства X нулевой вектор пространства Y, очевидно, является линейным оператором. ().

4. Поставим в соответствие каждому вектору линейного пространства X этот же вектор. Это тоже линейный оператор: . Он называется тождественным, или единичным линейным оператором.

5. Пусть . Введем новый оператор В по следующему правилу: . Этот оператор называется противоположным для А. ()

6. Зафиксируем элемент a поля Р и поставим в соответствие вектор . Полученный таким образом оператор также является линейным, действующим из X в X. Этот оператор называется скалярным оператором.

Из определения линейного оператора следует, что , для . Каждый линейный оператор нулевой вектор переводит в нулевой.

Лемма 1: Пусть . Множество – (множество всех значений оператора А) является подпространством линейного пространства Y.

Доказательство: Пусть , .

.

Определение: Пусть . Размерность подпространства называется рангом оператора А. ()

Лемма 2: Пусть . Множество – ядро линейного оператора А. Ядро линейного оператора А является подпространством линейного пространства X.

Доказательство: Пусть , .

Для

.

Определение: Размерность ядра называется дефектом оператора А и обозначается .

Теорема 1: Пусть . Представим X в виде: , где – любое подпространство, дополнительное к ядру. Тогда , и это соответствие – изоморфизм.

Доказательство: Рассмотрим произвольный вектор ). .

Этим мы установили, что отображение сюрьективно.

Установим инъективность этого отображения, т.е. докажем, что является образом единственного вектора . Пусть , .

.

Тогда .

Инъективность доказана.

То, что это – изоморфизм, следует из определения линейного оператора.

Таким образом, , кроме того, мы знаем, что (в силу определения прямой суммы), откуда следует, что , .

Линейный оператор А устанавливает изоморфное соответствие между подпространством и любым подпространством линейного пространства X, которое в прямой сумме с ядром дает все пространство X. Любой линейный оператор А порождает целое семейство линейных операторов, каждый из которых на своей области определения совпадает с А.

Примеры:

1. Пусть в линейном пространстве задан базис. Оператор А ставит каждому вектору из X его координату с фиксированным номером. Пусть дано X – конечномерное, – базис X, , .

2. В евклидовом пространстве Е зафиксируем вектор , а оператор А ставит в соответствие вектору число