Линейное пространство линейных операторов

Рассмотрим два линейных пространства X и Y, заданных над одним и тем же полем Р и рассмотрим множество всех линейных операторов, действующих из X в Y и обозначим его .

Определение:

Пусть . Будем говорить, что .

Оператор называется суммой А и В и обозначается , если .

Теорема 2: Множество относительно введенной операции сложения является абелевой группой.

Доказательство:

1. Замкнутость. Пусть . Рассмотрим .

. Таким образом .

2. Ассоциативность.

3. Нейтральным элементом является нулевой оператор.

4. Симметричным элементом будет противоположный оператор.

5. Коммутативность.

Определение: Оператор называется произведением и обозначается .

Теорема: Относительно операций сложения линейных операторов и умножения линейных операторов на элемент поля множество является линейным пространством.

Доказательство сводится к проверке аксиом линейного пространства.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с

Лекция №14 (II семестр)

Тема: Кольцо линейных операторов. Группа невырожденных операторов. Матрица линейного оператора. Связь между линейными операторами и линейными алгебраическими уравнениями.

Содержание: