Определитель произведения квадратных матриц

Теорема: Определитель произведения квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц.

Доказательство: Пусть

, .

Рассмотрим определитель порядка :

Вычислим этот определитель, используя теорему Лапласа, применяя ее к первым n строкам определителя.

Вычислим определитель другим способом: преобразуем его так, чтобы в правом нижнем углу стояли 0. К -му столбцу прибавим первый, умноженный на , второй, умноженный на и т.д., n-й, умноженный на . К -му столбцу прибавим первый, умноженный на , второй, умноженный на и т.д., n-й, умноженный на и т.д. К столбцу с номером прибавим первый, умноженный на , второй, умноженный на и т.д., n-ый, умноженный на . Получим определитель:

Преобразуем полученный определитель следующим образом: поменяем местами первую строку с , и т.д., n-ую с -ой. В результате получится определитель:

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №12 (II семестр)

Тема: Теорема о произведении неособенных матриц.

Содержание:

Произведение двух невырожденных матриц А и В является невырожденной матрицей, причем .

Обратная матрица для невырожденной матрицы так же является невырожденной и .

Доказательство: По условию, , , но , т.о. – невырожденная матрица.

Так как , то матрица для А существует, и

, следовательно, .

Матрица А, очевидно, удовлетворяет уравнению: , так что А является обратной для , следовательно, .

Теорема: Множество невырожденных квадратных матриц порядка N является группой по умолчанию. В самом деле. Замкнутость очевидна, так как доказано ранее, что произведение невырожденных матриц есть невырожденная матрица. В лекции №7 была доказана ассоциативность произведения матриц. Кроме того невырожденная матрица обратная и обратная является невырожденной (доказано выше). Е является невырожденной матрицей. Таким образом аксиомы выполнены и теорема доказана.

Теорема. Множество степеней невырожденной матрицы образует абелеву группу относительно умножения матриц.

Доказательство.

Невырожденность произведения доказана ранее. Имеет место равенство Аⁿ∙А^m= А^n+m. В самом деле: Аⁿ∙А^m= (А∙.…∙А)∙(А∙….∙А) =А∙….∙А=А^n+m.

nmm+n

Из этого следует произведение степеней матрицы, т.е. имеет место замкнутость. Единичная матрица может интерпретироваться как А⁰. (Все свойства Епри такой интерпретации сокращаются). Ассоциативность вытекает из свойств матричного умножения. А^-n определим как (А^-1)ⁿ (невырожденность обратной доказана ранее). Тогда (Аⁿ)^-1 = (А^-1)ⁿ. Таким образом аксиом группы выполнены. Множество невырожденных матриц вида Аⁿявляется циклической группой конечного, либо бесконечного порядка. Например матрицы вида порождают циклическую группу бесконечного порядка. Матрицы вида образуют циклическую группу второго порядка.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №13 (II семестр)

Тема: Определение линейного оператора. Ядро и дефект. Теорема о биективном соответствии образа и дополнительного к ядру подпространства. Линейное пространство операторов.

Содержание: