Правило Крамера

Если определитель системы отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. Пусть d – определитель этой системы.

,

.

Единственное решение этой системы вычисляется по формулам:

Доказательство:

Утверждение: Сумма произведений элементов каждой строки определителя (скажем, i -ой) на алгебраические дополнения элементов какой–либо другой строки (скажем, j- ой) равна нулю.

Доказательство:

Вычислим этот определитель, применяя теорему Лапласа к i-ой строке

(1)

Подставим вместо в обе части выражения (1) элементы j-ой строки, и получим:

Пусть – алгебраическое дополнение элемента в определителе d. Раскладывая определитель d с индексом по элементам j-того столбца, получим:

Подставим выражения в какое-нибудь, скажем, k-ое выражение системы. Будем иметь: