Условие независимости криволинейного интеграла II рода от пути

Рассмотрим интеграл и вычислим его по отрезку, соединяющему точки и . Затем вычислим этот же самый интеграл по дуге параболы, соединяющей точки и . Увидим, что ответы получились одинаковыми. И это не случайно. Иногда значение интеграла зависит только от начальной и конечной точки и не зависит от пути интегрирования. В этом случае интеграл можно вычислить по формуле, напоминающей формулу Ньютона-Лейбница:

.

Первый вопрос: что понимать под первообразной ? Очевидно, это функция, дифференциал которой равен подынтегральному выражению:

.

Второй вопрос: как найти эту первообразную? Естественно, интегрированием. Для примера вычислим интеграл

от точки до точки . У нас , .

1. Находим первообразную , точнее говоря, её первую часть:

.

Функция выступает в роли константы, ибо при интегрировании по переменной мы считаем постоянным.

2. Находим функцию . Каким образом? Формула вычисления дифференциала функции двух переменных такова:

.

С другой стороны, у нас . Сопоставляя эти формулы, увидим, что

.

Отсюда уравнение:

.

Решая его, находим функцию :

.

Как и в формуле Ньютона-Лейбница, достаточно найти только одну из первообразных. Тем самым мы выяснили, что

.

3. Получилось:

.

Третий вопрос: в каком случае криволинейный интеграл II рода можно вычислять по формуле

?

Ответ: если существует функция , такая, что

.

Дело в том, что первообразная существует далеко не всегда.

Наконец, последний вопрос: как определить, существует первообразная или нет? Ответ такой же, как и на вопрос о том, будет ли данное дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах? Если

,

то первообразная существует.