Криволинейные интегралы I рода

Пусть - некоторая функция, определённая в точках дуги , расположенной в плоскости . Разобьём дугу на частей:

.

Обозначим длину дуги :

.

Длину наибольшей дуги разбиения обозначим, как обычно:

.

На каждой из дуг разбиения выберем произвольную точку :

.

Сумма

называется интегральной суммой. Если существует предел

,

который не зависит от разбиения дуги и выбора точек , то он называется интегралом по дуге функции или криволинейным интегралом I рода. Обозначение такое:

.

Величина - это элемент длины дуги. У криволинейного интеграла I рода имеются свойства, которые в основном повторяют свойства уже известных нам интегралов:

1. .

2. .

3. , если точка принадлежит дуге .

4. Геометрический смысл.

Если , то

,

где - цилиндрическая поверхность с вертикальными образующими, ограниченная снизу дугой , а сверху – поверхностью :

Справедливость этого свойства следует из того, что каждое слагаемое интегральной суммы можно рассматривать как произведение длины средней линии трапеции с высотой . А это ни что иное, как площадь маленькой трапеции. Суммируя все площади маленьких трапеций, мы и получим , ч.т.д.

5. - длина дуги .

В самом деле, если , то интегральная сумма

,

естественно, равна длине дуги .

6. Если функция , то её можно ассоциировать с плотностью кривой , поэтому

,

где - масса дуги .

7. , т.е. значение криволинейного интеграла I рода не зависит от направления интегрирования. Это связано с тем, что элементом интегрирования является элемент длины дуги , который, естественно, всегда положителен, независимо от того, в какую сторону двигаться.