Поверхностные интегралы I рода

Диаметром множества называется наибольшее расстояние между любыми его двумя точками:

.

Пусть задана функция и поверхность , содержащаяся в области определения этой функции. Разобьём эту поверхность на частей и обозначим .

На каждой из частичек выберем произвольную точку и составим сумму

,

где значком обозначена площадь частички .

Если существует предел

,

который не зависит разбиения поверхности и выбора точек , то он называется поверхностным интегралом I рода и обозначается

.

Его свойства практически совпадают со свойствами криволинейного интеграла I рода:

1. .

2. .

3. , если поверхность состоит из поверхностей и , не пересекающихся внутренним образом.

4. - площадь поверхности .

В самом деле, если , то интегральная сумма

,

естественно, равна площади поверхности .

5. Если функция , то её можно ассоциировать с поверхностной плотностью, поэтому

,

где - масса поверхности .