Криволинейные интегралы II рода

Пусть некоторое тело движется по дуге , расположенной в плоскости под действием силы . В общем случае сила меняется от точки к точке, поэтому каждая координата вектора силы является функцией двух переменных:

.

Задача состоит в том, чтобы найти работу силы по перемещения тела из точки в точку .

По традиции разобьём дугу на частей и длину наибольшей дуги разбиения обозначим :

,

где - длина дуги . Работу силы на каждой из дуг обозначим . При перемещение тела по дуге можно считать перемещением по вектору , а силу можно считать постоянной и вычислять в произвольной точке . Для прямолинейного движения под действием постоянной силы остаётся справедливой школьная формула вычисления работы:

.

Для нахождения скалярного произведения векторов и используем опять же школьную формулу

.

Чтобы найти работу на всей дуге , нужно, естественно, просуммировать:

.

Получившееся выражение называется интегральной суммой криволинейного интеграла II рода.

Если существует предел

,

который не зависит от разбиения дуги и выбора точек К_i, то он называется интегралом по координатам или криволинейным интегралом II рода от функции . Обозначение такое:

.