![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Поверхность называется двусторонней, если после обхода по любому замкнутому пути, лежащему на поверхности, направление вектора нормали не меняется:
![]() |
Примером односторонней поверхности может служить лист Мёбиуса:
Пусть - некоторая поверхность, каждой точке которой поставлен в соответствие вектор
, где
,
и
- функции трёх переменных:
,
,
.
Разобьём эту поверхность на частей
, на каждой из них выберем произвольную точку
:
![]() |
![]() |
и в этой точке построим вектор нормали , длина которого равна единице. Обозначим площадь
. Сумма
называется интегральной суммой. Под записью здесь понимается скалярное произведение векторов.
Наконец, пусть . Если существует предел
,
который не зависит от разбиения поверхности и от выбора точек , то он называется поверхностным интегралом II рода и обозначается
=
.
Если - замкнутая поверхность (ограничивает некоторую пространственную область), то поверхностный интеграл II рода называется потоком вектора
через замкнутую поверхность
и обозначается
.
Свойства поверхностного интеграла II рода в основном повторяют свойства всех ранее изученных интегралов. Есть лишь одно особенное: поверхностный интеграл II рода зависит от выбора стороны поверхности. При смене стороны поверхности единичный вектор нормали изменит направление на противоположное (сменит знак), скалярное произведение
также сменит знак, поэтому и весь интеграл поменяет знак на противоположный.
Если обозначить ,
,
углы, которые образует единичный вектор нормали
с осями координат
,
и
соответственно, то вектор
будет иметь координаты
.
Обозначив координаты вектора
,
получим, что их скалярное произведение равно
.
Таким образом, поверхностный интеграл II рода можно записать так:
.
Можно показать, что произведение представляет собой площадь проекции элемента
на плоскость
:
.
Аналогичными рассуждениями получаем, что
;
.
Поэтому иногда поверхностный интеграл II рода записывается так:
.
Эта запись объясняет, почему поверхностный интеграл II рода называют, по аналогии с криволинейным интегралом II рода, интегралом по координатам. Однако вычисление поверхностного интеграла II рода удобнее всего производить непосредственно по определению, по формуле
.
Координаты вектора обычно заданы, координаты вектора нормали к поверхности
, заданной неявно, мы находить умеем (гл. IV, § 8):
,
а чтобы сделать вектор единичным (пронормировать), нужно просто разделить каждую его координату на его длину:
.
После этого поверхностный интеграл II рода сведётся к поверхностному интегралу I рода:
,
а его мы уже вычислять умеем.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 236 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!