Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки гипотезы независимости

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

На практике предельное распределение можно использовать с хорошим приближением при и . При выполнении этих условий для заданного уровня значимости можно положить , где является (1— )-квантилью распределения . Таким образом, критерий согласия Пирсона состоит в следующем:

1. По заданному уровню значимости находится по табл. П4 порог
.

2. По заданной выборке объема определяется число интервалов группировки так, чтобы . Вычисляется значение статистики .

§ Если , то гипотезу отвергают.

§ Если , то гипотезу принимают.

Если случайная величина дискретная, - различные выборочные значения, а в случае справедливости , то всегда можно определить интервалов, содержащих ровно по одному выборочному значению. Поэтому в данном случае можно сразу считать, что , где – частота выборочного значения .

На практике теоретическое распределение полностью бывает определено редко. Чаще известен предположительно только тип распределения, но неизвестны параметры его определяющие. В этом случае гипотеза о виде распределения, подлежащая проверке, имеет вид и является сложной параметрической гипотезой.

Критерий согласия Пирсона применим для проверки такой гипотезы со следующими изменениями:

a) вероятности , вычисляют, заменяя неизвестные параметры их оценками максимального правдоподобия : ;

b) число степеней свободы предельного распределения хи - квадрат должно быть уменьшено на число неизвестных параметров и считаться равным .

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\