Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия. Пример

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Метод максимального правдоподобия.

Пусть - выборка из генеральной совокупности, имеющей функцию распределения , зависящую от неизвестного скалярного параметра .

Если закон распределения наблюдаемой случайной величины является непрерывным, т.е. существует плотность вероятностей , то функция , рассматриваемая при фиксированной выборке как функция параметра , называется функцией правдоподобия.

Если наблюдаемая случайная величина имеет дискретный закон распределения, задаваемый вероятностями , то функция правдоподобия определяется равенством:

.

Оценкой максимального правдоподобия параметра называется такое значение параметра, при котором функция правдоподобия при заданной выборке достигает максимума:

Если функция правдоподобия дифференцируема по , то оценку максимального правдоподобия можно найти, решив относительно уравнение правдоподобия или равносильное уравнение .

Если - векторный параметр, то для отыскания оценки максимального правдоподобия следует решить систему уравнений правдоподобия

Все изложенные результаты остаются в силе и при оценивании не самого параметра , а некоторой параметрической функции .

Оценки максимального правдоподобия являются:

- состоятельными;

- асимптотически эффективными;

- несмещенными не всегда;

- асимптотически нормальными, т.е. при соответствующей нормировке закон распределения оценки максимального правдоподобия является нормальным (что очень важно для нахождения вероятностей отклонения их от истинных значений параметров).

Однако уравнения (системы уравнений) для нахождения оценок максимального правдоподобия могут решаться довольно сложно.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\