Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки сложной гипотезы о виде распределения

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Пусть - выборка объема , представляющая собой результат независимых наблюдений над случайной величиной , относительно распределения которой выдвинута простая гипотеза
( - теоретическая функция распределения, соответствующая гипотезе ). Наиболее распространенным критерием проверки этой гипотезы является критерии Пирсона. Чтобы воспользоваться критерием Пирсона, выборочные данные следует предварительно сгруппировать, представив их в виде интервального статистического ряда.

Пусть - интервалы группировки, - частоты попадания выборочных значений в интервалы соответственно (). Обозначим теоретическую (соответствующую ) вероятность попадания случайной величины в интервал .

Статистикой критерия является величина: , которая характеризует отклонение эмпирической функции распределения от теоретической функции распределения (значение является приращением эмпирической функции на интервале , а - приращением теоретической функции на том же интервале). Поскольку относительные частоты сближаются с вероятностями при , то в случае справедливости гипотезы значение величины не должно существенно отличаться от нуля. Поэтому критическая область критерия задается в виде , где – значение величины , полученное для заданной выборки, а порог определяется по заданному уровню значимости так, чтобы . Нахождение основано на том факте (известном как теорема Пирсона), что случайная величина имеет при предельное распределение хи - квадрат с степенью свободы.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\