Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии как точечных оценок МО и дисперсии соответственно

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

– с.в., ,

1. Выборочное среднее

, – копии , – оценка

а) является несмещенной оценкой .

б) является сотоятельной оценкой

I способ.

Поскольку – несмещенная оценка, то ,

II способ.

(по ЗБЧ)

в) является эффективной оценкой неизвестного в нормальной модели наблюдений

Воспользуемся неравенством Рао-Крамера:

Поэтому , что означает эффективность оценки.

2. Выборочная дисперсия

а) не является несмещенной оценкой , она является асимптотической несмещенной оценкой

При получаем 0.

Вывод: Т.к. , то является несмещенной оценкой. Ее смещение . Т.к. , то – асимптотическая несмещенная оценка дисперсии.

Учитывая, что , то, домножив на , получим несмещенную оценку дисперсии.

, называется исправленной выборочной дисперсией.

б) и являются состоятельными оценками .

.

В соответствии с ЗБЧ:

, ,

это и означает состоятельность оценки. Т.к. , то и является состоятельной оценкой.

в)

и являются асимптотически эффективными оценками в нормальной модели наблюдений: , т.е. , если – эффективная оценка дисперсии.

Методы получения точечных оценок

1. Метод моментов, принадлежащий К. Пирсону. Пусть – выборка объема , имеющая функцию распределения ; ; . Предполагают, что у с.в. существуют единственные начальные моменты до порядка включительно: . Моменты

Для заданной выборки являются числами. Суть метода состоит в приравнивании теоретических моментов к выборочным. При этом получается система уравнений:

, (1)

Если система уравнений (1) имеет единственное решение, то оно называется оценкой параметра , полученной по методу есть некоторый вектор .