Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки простой гипотезы о виде распределения

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Статистической гипотезой называют любое утверждение о виде или свойствах наблюдаемых в эксперименте случайных величин. Правило, позволяющее по имеющимся статистическим данным (выборке) принять или отклонить выдвинутую гипотезу, называется статистическим критерием. Если формулируется только одна гипотеза и требуется проверить, согласуются ли статистические данные с этой гипотезой или же они ее опровергают, то критерии, используемые для этого, называются критериями согласия. Если гипотеза однозначно фиксирует закон распределения наблюдаемой случайной величины, то она называется простой, в противном случае — сложной. Пусть относительно наблюдаемой случайной величины сформулирована некоторая гипотеза , - выборка объема , являющаяся реализацией случайного вектора , координаты которого независимы и распределены так же, как .

Общий метод построения критерия согласия для проверки гипотезы состоит в следующем. Вначале ищут статистику (случайную величину!), характеризующую отклонение эмпирического распределения от теоретического, закон распределения которой в случае справедливости можно определить (точно или приближенно). Далее задают некоторое положительное малое число , так что событие с вероятностью можно считать практически невозможным в данном эксперименте. Затем для заданного определяют в множестве возможных значений статистики подмножество , так чтобы .

Критерий согласия имеет следующий вид:

§ если значение статистики , соответствующее данной выборке и , то гипотеза отвергается;

§ если , то гипотеза принимается.

Статистика называется статистикой критерия, множество - критической областью для гипотезы , число - уровнем значимости критерия.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\