Свойства математического ожидания. Во всех рассматриваемых ниже свойствах предполагается, что у случайных величин математические ожидания существуют

Во всех рассматриваемых ниже свойствах предполагается, что у случайных величин математические ожидания существуют.

М0). Математическое ожидание любой случайной величины есть число!

М1). Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной: .

М2). Постоянная величина выносится за знак математического ожидания: .

М3). Математическое ожидание суммы любых случайных величин и равно сумме их математических ожиданий: .

Замечание. Свойства М1), М2) и М3) называются свойствами линейности математического ожидания и следуют из свойств линейности рядов и интегралов в соответствии с формулами (2.7) и (2.8).

Следующие два свойства математического ожидания связаны с понятием
«Р-почти наверное» (Р-п.н.). Говорят, что некоторое свойство выполнено Р-п.н., если существует множество с такое, что это свойство выполнено для каждого . Вместо Р-п.н. говорят также «Р-почти всюду» (Р-п.в.) или просто «почти наверное» (п.н.), «почти всюду» (п.в.). Используют также термин: свойство выполнено с вероятностью 1.

М4). Если п.н. (то есть ), то .

Если п.н. и при этом , то п.н. (то есть ).

▲ Доказательство свойства для дискретных случайных величин очевидно. Для непрерывных случайных величин доказательство следует из того, что плотность вероятностей при ■.

М5). Если п.н., то .

Если п.н. и при этом , то п.н..

▲ Для доказательства достаточно применить свойство М4) к случайной величине п.н. ■.

М6).

▲ Поскольку для любого , то в силу свойства М5) , то есть ■.

Замечание. Свойство М6) справедливо и в более общем виде:

Для любой выпуклой вниз функции справедливо неравенство:

(неравенство Йенсена).

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\