Математическое ожидание дискретных и непрерывных СВ

Математическое ожидание случайной величины

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Пусть - дискретная случайная величина, определенная на вероятностном пространстве , с конечным множеством возможных значений и - вероятности, с которыми эти значения принимаются, то есть задан закон распределения дискретной случайной величины:

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины , принимающей значения с вероятностями , называется величина , (2.7)

если ряд в правой части абсолютно сходится: .

Если ряд в правой части абсолютно расходится, то говорят, что математического ожидания у дискретной случайной величины не существует.

Замечание. Естественно, что вопрос о сходимости ряда встает только в случае, когда множество возможных значений дискретной случайной величины бесконечно (но счетно). У дискретной случайной величины, принимающей конечное число значений, математическое ожидание существует всегда.

Пусть теперь - непрерывная случайная величина, определенная на вероятностном пространстве и имеющая плотность вероятностей . Для определения ее математического ожидания построим следующую дискретную случайную величину , аппроксимирующую непрерывную случайную величину .

Для некоторого рассмотрим точки вида на числовой прямой и положим

, если , .

Случайная величина принимает значения с вероятностями

,

(при малом ).

При любом и при дискретная случайная величина все точнее аппроксимирует непрерывную случайную величину .

При этом ,

если ряд сходится абсолютно. Последняя сумма является интегральной суммой для интеграла , который и следует считать математическим ожиданием непрерывной случайной величины .

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей называется величина , (2.8)

если интеграл в правой части абсолютно сходится: .

Если интеграл в правой части абсолютно расходится, то говорят, что математического ожидания у непрерывной случайной величины не существует.

Замечание. Формулы (2.7) и (2.8) для математического ожидания дискретной и непрерывной случайных величин можно объединить в одну, записав математическое ожидание в виде: ,

где последний интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса по функции распределения

Еще более общим является представление математического ожидания в виде интеграла Лебега:

Механическая интерпретация математического ожидания.

Если закон распределения интерпретировать как распределение единичной массы вдоль оси абсцисс, то математическое ожидание – координата центра тяжести (центра масс).

Геометрическая интерпретация математического ожидания.

Математическое ожидание – среднее значение случайной величины, около которого группируются другие ее значения (иногда вместо математическое ожидание случайной величины говорят среднее случайной величины ).

Геометрическая иллюстрация:

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\