Моменты, дисперсия и среднеквадратическое отклонение СВ. Свойства дисперсии

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Начальным моментом (НМ) -го порядка СВ называется МО -ой степени этой СВ.

, если МО существует. (*)

Обычно рассматривается НМ положительного и целого порядка: ;

Например: и .

Центральным моментом - го порядка СВ называется МО, - ой степени, отклонения этой СВ от ее МО: .

СВ называется центрированной СВ (ЦСВ), т.к. .

Т.о. СВ , есть начальный момент - го порядка ЦСВ: .

.

Особую роль на практике играет (**), называемый дисперсией Д (МО квадрата отклонения СВ от своего МО). Д характеризует степень разброса СВ относительно ее МО (степень рассеянья).

В механической интерпретации Д есть момент инерции, распределения единицы массы относительно центра масс.

На ряду с формулой (**) используется также:

.

Свойства Д:

1. п.н.

Доказательство: . Если , то . И в обратную сторону:

2. . Дисперсия не изменяется при добавлении к СВ константы.

Доказательство: .

3. , где .

Доказательство: .

имеет размерность квадрата СВ. Характеристикой рассеянья, имеющей размерность самой СВ является средне-квадратичное отклонение ().

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\