Непрерывные СВ. Плотность вероятностей и ее свойства

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Опр НСВ – случайная величина - определенная на вероятностном пространстве называется непрерывной, если ее функция распределения (*).

Функция называется плотностью распределения вероятностей (ПВ) НСВ .

Из определения НСВ напрямую вытекают свойства ФР НСВ:

1. - непрерывная . (следует из непрерывности интегрирования с переменным верхним пределом, при этом необязательно непрерывна).

2. В точках непрерывности ф-ция распределения является дифференцируемой и (**) (следует из свойства 1 и свойства интегрирования с переменным верхним пределом). В точках, где непрерывности нет ФР имеет излом.

Замечание: Представление (*) задает плотность вероятностей неоднозначно, поскольку изменение на любом множестве меры 0, не изменит этого представления. Поэтому говорят, что ФР НСВ является дифференцируемой почти всюду и для почти всех .

Из (**) и определения производной следует: .

Т.о. с физической точки зрения можно интерпретировать , как массу, приходящуюся на отрезок . Это оправдывает понятие как плотности.

Несмотря на то, что (*) и (**) устанавливают взаимнооднозначное соответствие между ПВ и ФР, но ПВ является более наглядной вероятностной характеристикой НСВ. ПВ также называют законом распределения НСВ.

Свойства плотности вероятности:

1. (почти всюду) т.к. ФР неубывающая функция.

2. - условие нормировки.

3. .

Т.к. .

При НСВ т.к. .

Свойства 1 и 2 полностью описывают класс ПВ (если удовлетворяет свойствам 1 и 2, то и НСВ, плотностью которой она является).

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\