Понятие случайной величины (СВ). Функция распределения СВ и ее свойства

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Случайная величина (СВ) (интуитивное определение) – числовая функция, значение которой заранее определить невозможно, т.е. функция зависящая от случайного исхода и принимающая свои значения с некоторыми вероятностями. - обозначение случайных величин. - значения СВ.

Формальное определение СВ: Пусть имеется случайный эксперимент и задано вероятностное пространство . - называется случайной величиной, если

. является событием .

Говорят, что функция является - измеримой (измеримой относительно -алгебры ), если множество . Т.о. СВ есть - измеримая функция ставящая в соответствие каждому элементарному исходу вещественное число .

Из определения СВ и -алгебры следует, что событиями являются также подмножества, связанные со СВ : ; ;

; , и любые другие подмножества, получающиеся из данных путем выполнения конечного или счетного числа операций. Другими словами, попадание СВ в Борелевское множество на числовой прямой является событием:

.

Для определения вероятностей любых событий, связанных со СВ и делать это аналогичным способом для всех величин в ТВ вводится понятие функции распределения (ФР).

ФР -я СВ называется функция , отображающая , при каждом , определяемая равенством: . Геометрически ФР в точке означает вероятность попадания СВ левее заданной точки .

Свойства ФР:

1. - т.к. ФР является вероятностью.

2. ФР – неубывающая функция: .

Доказательство: .

3. и .

Замечание: Если предел , то для произвольной последовательности справедливо .

Доказательство: Существование предела вытекает из ограниченности и монотонности. В соответствии с замечанием к доказательству, что для того чтобы доказать, что достаточно показать, что . Пусть , тогда обладает свойствами:

1. ; (*)

2. . (**)

Т.о. в соответствии с аксиомой непрерывности вероятности, с учетом того, что .

> Для доказательства 2-го утверждения достаточно показать, что или . Рассмотрим , последовательность удовлетворяет свойствам (*) и (**), а следовательно является убывающей. Аналогично получим, что .

4. ФР является функцией непрерывной слева: .

Замечание: Геометрически свойство означает, что в точках разрыва ФР принимает нижнее (меньшее) значение ().

Доказательство: докажем, что или

. Пусть тогда для выполняются свойства (*) и (**) . Т.о. .

Свойства 1-3 полностью описывают класс ФР (т.е. если функция удовлетворяет свойствам 1-3, то это ФР некоторой СВ).

5. , где - величина скачка ФР в точке .

.

Следствие: Если ФР является непрерывной в т. то .

Доказательство: . Событие справа попарно несовместно .

, т.к. , подчиняется свойствам (*) и (**). Т.о. .

6. .

Доказательство: .

7. .

Доказательство: .

8. ;

9. ;

10. .

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\