Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Рассмотрим простейшую последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможно только 2 исхода: успех - и неуспех - . Такая схема независимых испытаний называется схемой Бернулли. Пусть и .

Пространство элементарных событий после проведения испытаний по схеме Бернулли имеет вид: . При этом , где . Т.о. .

При рассмотрении схемы Бернулли обычно интересуются событиями вида:

, .

, где и .

Откуда получим формулу Бернулли:

.

Поскольку события при образуют ПГС, то

.

Рассмотрим отношение . Откуда видно, что

, если ;

, если ;

, если .

Обозначим за - число успехов при котором функция достигает максимума (наивероятнейшее число успехов). Тогда если - не целое, то . А если - целое, то существует 2 наивероятнейших числа успехов и . Если - целое число, то, очевидно, .

При больших и вычисление очень трудоемко, для этого используются приближенные формулы, основанные на предельных теоремах Пуассона и Муавра-Лапласа.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\