Формулы полной вероятности и Байеса. Пример

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Пусть - ПГС, причем и - известны . Найдем .

- слагаемые справа попарно несовместны с учетом аддитивности вероятности и правилом умножения получим:

- формула полной вероятности.

- гипотезы, отметим, что , т.к. гипотезы составляют ПГС.

Пусть с экспериментом связано - гипотез, вероятности которых известны, также известно, что гипотеза сообщает событию вероятность . Предположим, что после проведение эксперимента событие произошло. Этот факт приводит к переоценке первоначальных вероятностей гипотез .

- формула Байеса, где

- априорные вероятности гипотез;

- апостериорные вероятности гипотез.

Пример:

По каналу связи с помехами передаются бинарные символы (0 и 1). Вероятность искажения символа в канале равна . Вероятности символов на входе каналов: и . На выходе принят сигнал соответствующий . Какова вероятность того, что на входе также была .

Решение:

. Т.о. необходимо найти апостериорную вероятность .

Очевидно, и . По формуле Байеса получим:

; .

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\