Независимость событий. Свойства независимых событий. Независимость в совокупности

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

События являются независимыми, если появление одного из этих событий не меняет вероятности другого.

Опр Говорят, что событие не зависит от , если , иначе события зависимы.

Покажем, что понятие независимости является симметричным: пусть , тогда

.

В силу симметрии говорят, что события и независимы.

Из правила умножения вытекает следующее симметричное определение независимых событий: события и независимы, если - вероятность факторизуется.

Свойства независимых событий:

1. Если и независимы, то независимыми являются также и , и , и .

.

Остальное доказывается аналогично.

2. Если не зависит от и , которые являются несовместимыми, то не зависит от .

.

Если рассматривать более 2-х событий вводится понятие независимости в совокупности:

Пусть - некоторые события на вероятностном пространстве . События называются независимыми в совокупности, если :

.

Для получим, что независимость из независимости в совокупности следует попарная независимость, обратное утверждение не верно.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\