![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Сформулировано в 1933 г. Колмогоровым А.Н.
Опр Класс подмножеств множества
называют
-алгеброй, если выполнены условия:
1. ;
2. -
-алгебра замкнута относительно перехода к противоположному событию.
3. -
-алгебра замкнута относительно операции сложения.
Утверждения 1-3 называются аксиомами -алгебры.
Покажем, что -алгебра замкнута относительно произведения и разности:
1.
.
2. .
Множества и только они называются случайными событиями. Пара
, где
- пространство элементарных событий, а
-алгебра его подмножеств называется измеримым пространством.
Опр Пусть - пространство элементарных событий, а
-алгебра его подмножеств. Функция
, отображающая
(в вещественную прямую), называется мерой на измеримом пространстве
, если она удовлетворяет условиям:
1. ;
2. .
Последние 2 утверждения называются аксиомами меры (аксиома неотрицательности и аддитивности). Мера отображающая
называется нормированной мерой на измеримом пространстве
, если
.
Пусть - пространство элементарных событий, а
-алгебра его подмножеств. Вероятностью или вероятностной мерой на измеримом пространстве
называется функция
, удовлетворяющая следующей системе аксиом:
1. (аксиома неотрицательности);
2. (аксиома нормированности);
3. (аксиома счетной аддитивности).
Тройка называется вероятностным пространством.
Теорема Аксиома счетной аддитивности (3) эквивалентна 2-м аксиомам:
3*. Аксиома конечной аддитивности .
4. Если - последовательность событий, удовлетворяющая:
1. ;
2. .
то . Такая последовательность называется убывающей последовательностью событий.
Свойства вероятности:
1. т.к.
.
2. из свойства 1 (
).
3. .
. Покажем несовместность событий
и
:
. Тогда
.
4. т.к.
и свойство 3.
5. Теорема сложения вероятностей: .
Доказательство: ,
по аксиоме аддитивности:
(1).
Представим и
несовместимы
(2).
.
6. Если образует ПГС, то
. Утверждение следует из свойства вероятности 3* и 4.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 333 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!