Условная вероятность и ее свойства. Правило и теорема умножения вероятностей

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Информация о наступлении одного события может повлечь изменение шансов появления другого.

Пусть - конечное пространство равновозможных элементарных исходов. – некоторые события. Вероятность, того, что событие произойдет равно , если же известно, что событие произошло, то следует выбрать новое вероятностное пространство , и рассматривать событие . Т.о. вероятность того, что событие произойдет, при условии, что уже произошло:

.

Полученное выражение для и принимается за определение условной вероятности.

Опр Пусть - некоторое вероятностное пространство , . Условной вероятностью события , при условии, что уже произошло называется величина: .

Условная вероятность при фиксированном удовлетворяет всем аксиомам вероятности, а именно:

1. (аксиома неотрицательности);

2. (аксиома нормированности);

3. .

Т.к. .

Из справедливости этих аксиом, можно утверждать, что условная вероятность обладает всеми свойствами вероятностей.

Из определения условной вероятности вытекает правило умножения вероятностей:

, .

Обобщим правило умножения на случай счетного числа событий (теорема умножения):

.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\