Геометрическое определение вероятности. Пример

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Это определение приспособлено для ситуации с континуальным количеством равновероятных исходов, когда классическое определение не работает.

Говорят, что СЭ удовлетворяет геометрическому распределению если:

1. Исход можно изобразить точками некоторой области , имеющий конечную меру .

2. Можно считать, что попадание точки в любые области , имеющие одинаковую конечную меру равновозможное и не зависит от формы и расположения внутри . При этом говорят, что точка бросается наудачу.

Согласно геометрическому определению вероятности, вероятность попадания в любую область пропорционально ее мере .

.

Рассмотрим частные случаи:

; - длина подмножества на числовой прямой .

; - площадь подмножества на плоскости .

При мерой будет являться объем.

Из геометрического определения вероятности вытекают свойства:

1. ;

2. - условие нормировки;

3. ;

Т.к. свойства 1-3 справедливы, то из них вытекают:

4. т.к. .

5. из свойства 4 ().

6. . . Покажем несовместность событий и : . Тогда .

7. т.к. и свойство 6.

Пример: Стержень наугад разламывается на 2 части, какова вероятность того, что длины обломков будут отличаться более чем в 2 раза.

Решение: Исход - точка в которой и сломается стержень.

; .

.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\