![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
,
где С – некоторая константа, а
1.5. В данном пункте мы покажем, что –алгебра, порожденная винеровским процессом
, обладает свойством непрерывности слева и справа.
Обозначим .
Определение. Будем говорить, что фильтрация непрерывна справа (слева), если
Теорема 6. Пусть на стохастическом базисе
задан одномерный винеровский процесс
. Пусть
- фильтрация пополнена множествами нулевой меры Р. Тогда фильтрация
непрерывна справа и слева, т.е.
для любого
. Доказательство. Установим сначала непрерывность слева, т.е. покажем, что
. Очевидно, что
. Поэтому нам надо доказать, что
. Заметим сначала, что числа в силу непрерывности винеровского процесса,
, где r - рациональные но тогда
, т.е.
.
Установим теперь непрерывность справа, т.е. . Очевидно, что
. Поэтому надо доказать, что
. Пусть
. Тогда из определения винеровского процесса следует, что
.
Отсюда ясно, что если , то
. Следовательно
, поэтому P - п. н.
(6)
Пусть . Тогда из (6) имеем P - п. н.
Устремим , имеем P - п. н.
(7)
Сравнивая (6) и (7), видим, что . Отсюда вытекает, что для любой измеримой ограниченной функции f P - п. н. справедливо равенство
. (8)
Пусть теперь и
- ограниченные измеримые функции. Тогда в силу марковского свойства винеровского процесса и (8) имеем P - п. н.
Аналогичным образом устанавливается равенство P - п. н. ,
где и
- любые измеримые ограниченные функции
.Отсюда следует, что для любой
-измеримой функции
P - п. н. имеем
. Беря в качестве
измеримую величину, имеем
P - п. н. Следовательно,
- измерима. Значит,
. Доказательство закончено.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 221 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!