![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Отсюда следует, что
Поэтому
Значит, , так как
и
, при
т.е.
. Доказательство закончено.
1.1.2. Лемма 3. Пусть . Пусть
,
, причем
. Тогда справедливо равенство
.
Доказательство утверждения леммы следует из формулы интегрирования по частям.
1.1.3. Доказательство (теоремы 1) Пусть - пространство измеримых квадратично интегрируемых относительно меры Лебега функций, заданных на отрезке [0,1] со значениями в
. Пусть
- ортонормированное семейство функций в
, т.е.
, где
- символ Кронекера. Обозначим
. Пусть
– счетное семейство независимых в совокупности стандартных нормальных случайных величин. Для доказательства теоремы достаточно доказать, что ряд
P - п. н. cходится для любого t и обладает свойствами i)-iv).
Пусть . Очевидно, что:
1) ;
2) , где
- скалярное произведение в
;
3) ;
4) , где
- норма в
.
Обозначим . Очевидно, что:
1) для любого - гауссовская случайная величина, причем для любых n;
(1)
Отсюда следует, что - квадратично интегрируем. Рассмотрим
, причем без ограничения общности можно считать, что
. В силу (1), имеем
Стало быть, справедлив критерий Коши. Поэтому в среднеквадратичном смысле сходится к некоторой
, т.е.
для любого
, причем в силу леммы 2 случайная величина
имеет гауссовское распределение.
Построенный процесс обладает свойствами.
;
Траектории - непрерывны.
Действительно, в силу леммы 3 имеем , отсюда в силу теоремы 2 главы 3 получаем утверждение.
(следует из леммы 2).
Осталось установить, что – процесс с независимыми приращениями. Для этого достаточно показать, что
Действительно,
Доказательство закончено.
1.1.4. Замечания. 1) Рассмотрим . Отсюда следует, что
для любого
и ограниченного n дифференцируем по t, т.е. P - п. н. существует
, причем
. Очевидно, что
при
для любого
.
2) Из неравенства Коши-Буняковского следует, что .
1.2. Теорема 4. Обозначим . Тогда относительно меры Р
винеровский процесс является мартингалом.
Доказательство. Нам надо проверить: 1) ; 2)
при
. Заметим, что 1) следует из пункта 2) замечания 1.1.4. Осталось доказать, что
, но в силу того, что
имеет независимые приращения имеем
.
Доказательство закончено.
1.2.1. Замечание. Очевидно, что является квадратично интегрируемым мартингалом относительно меры Р.
1.3. В дальнейшем нам понадобится одно свойство приращений винеровского процесса.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 198 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!