Существование и единственность сильных решений стохастических уравнений

5.1. В данном параграфе мы вводим понятия стохастического дифференциального уравнения, а также устанавливаем условия разрешимости этих уравнений.

5.2. Пусть имеется стохастический базис и - винеровский процесс на нём. Через обозначим измеримое пространство непрерывных функций на со значениями в . Пусть - измеримые функции.

Определение. Будем говорить, что случайный процесс Ито является сильным решением стохастического уравнения

, (22),

если и при каждом - измерим, и Р -п. н. справедливо (22).

В дальнейшем (22) будем называть стохастическим уравнением.

Определение. Будем говорить, что стохастическое уравнение (22) имеет единственное сильное решение, если для любых его двух сильных решений , таких, что , справедливо .

5.3. Приведём, а затем и обоснуем условия существования и единственности сильных решений стохастического уравнения (22).

Теорема 12. Пусть выполняются условия:

1) , – измеримые функции;

2) существует константа такая, что для любых :

,

;

3) случайная величина не зависит от и .

Тогда у стохастического уравнения (22) существует единственное сильное решение для любого .

Замечание. Из условия 2) теоремы следует, что коэффициенты стохастического уравнения (22) удовлетворяют условию . Действительно, из условия 2) следует, что

Доказательство. Установим сначала единственность сильного решения стохастического уравнения (22). Пусть - два решения стохастического уравнения (22), причём . Тогда очевидно

(23)

Возьмём математическое ожидание относительно левой и правой частей неравенства (22), а затем к первому слагаемому правой части (22 применим неравенство Коши-Буняковского, имеем

(24)

Из свойств стохастических интегралов, условия 2) теоремы и теоремы Фубини, имеем из (22)

.

Отсюда, в силу леммы Гронуолла-Беллмана, следует единственность сильного решения у (22).

Установим, теперь, существование сильного решения у (22). Для этого воспользуемся методом последовательных приближений. Положим

(25).

Сначала покажем, что для любых существует константа такая, что . Действительно, из (25), в силу замечания из пункта 5.3.1, имеем

. (26)
Рассмотрим . В силу (25) и условия Липшица, имеем

(27)
где . Заметим теперь, что Р -п. н.

Отсюда, в силу леммы 9 и условия 2i), имеем

.

Поэтому ряд

.

Стало быть, в силу леммы Бореля-Кантелли ряд сходится Р -п. н. равномерно по t. Значит последовательность непрерывных процессов Р -п. н. равномерно сходится к непрерывному процессу . Из оценки (26) и леммы Фату следует, что

.

Покажем, что построенный процесс является решением уравнения (22). В соответствии с (25), покажем, что равномерно по t при . Из (23) и (25) имеем Р -п. н.

. (28).

Заметим, что:

i) в силу условия Липшица, Р -п. н. имеем

, (29).

ii) в силу леммы 10 и условия Липшица, имеем для любых и

. (30).

Так как , поэтому из (30) и (29) следует, что (28) стремится к 0 по вероятности при равномерно по t. Значит является сильным решением, так как из предыдущих построений следует, что оно - измеримо, где . Доказательство закончено.

5.4. Замечание. Пусть - единственное сильное решение следующего стохастического уравнения

. (31).

Из теоремы 12 следует, что существует функционал , где - пространство непрерывных функций на со значениями в (обозначаемые через , обозначаемый через такой, что Р -п. н. . Пусть - единственное сильное решение стохастического уравнения

.

Тогда очевидно следующее равенство Р-п. н. для любого

.