Это утверждение следует из того, что и усиленного закона больших чисел

5) Процесс является винеровским процессом,

6) Это равенство следует из леммы 3.

Неравенство Дуба. Для любого

(4)

Доказательство. Пусть . Очевидно, что (докажите это неравенство самостоятельно). Заметим, что

Поэтому (5)

Из равенства P – п. н. и неравенства Иенсена

получаем, что

Из (5) и приведенных неравенств следует неравенство Дуба.

8) Гёльдеровское свойство Леви

.

Доказательство этого утверждения проведем в два этапа: 1) сначала покажем, что P - п. н. , 2) установим неравенство

P – п. н.

1) Доказательство неравенства P – п. н.. Пусть и . Пусть имеется диадическое разбиение отрезка [0, t ] точками . Тогда имеем

Обозначим . Значит, справедливо неравенство

Так как Поэтому, в силу леммы Бореля-Кантелли, имеем при

2) Установим неравенство P – п. н.. Положим . Тогда имеем

Так как , то правая часть последнего неравенства является общим членом сходящегося ряда. Следовательно, в силу леммы Бореля-Кантелли получаем утверждение.

Замечание. Из гёльдеровского свойства Леви следует, что P - п. н.