Оценки моментов решений стохастических уравнений. Непрерывность траекторий решений стохастических уравнений

6.1. Теорема 13. 1) Пусть выполнены условия теоремы 12 и . Тогда существует положительная константа такая, что

.

2) Пусть выполнены условия теоремы 12 и , то существует константа К такая, что

.

Доказательство. 1) Обозначим

, .

Применим формулу Ито к , имеем

(32)

Так как для любого , имеем из (32)

(33)
Из определений и следует, что ,

поэтому из (33) имеем (31)

Для оценки и воспользуемся неравенством Юнга , где , , . Рассмотрим и положим , а . Из неравенства Юнга следует Р -п. н. для любого s

.

Рассмотрим и положим , , имеем Р -п. н. для любого s

.

Поэтому неравенство (34) можно усилить, учитывая, что для каждого т существует константа такая, что

. (35)

Последнее неравенство (35) можно усилить, учитывая, что: а) ,

б) так как для , то существует константа такая, что

.

Отсюда в силу леммы Гронуолла-Беллмана, применённой к функции , имеем из (35)

.

В силу леммы Фату, из последнего неравенства, имеем

.

Первое утверждение теоремы доказано.

2) Оценим сверху , имеем в силу неравенства

Отсюда, в силу неравенства Гёльдера и свойств стохастических интегралов, имеем

В силу замечания к теореме 12 имеем Р -п. н. для

.

Поэтому последнее неравенство можно усилить

Значит существует константа такая, что

.

Воспользуемся теперь оценкой пункта 1 теоремы, в результате получим второе утверждение теоремы. Доказательство закончено.

6.2. Основываясь на втором утверждении теоремы легко установить утверждение.

Теорема 14. Пусть выполнены условия теоремы 13 и . Тогда решение стохастического уравнения (22) является непрерывным процессом.

Доказательство этого утверждения следует из пункта 2 теоремы 13 при , которое позволяет воспользоваться теоремой 2 главы 3.