Замечание. Неупреждающие функции часто называют функциями, не зависящими от будущего

2.3. Определение. Функция называется простой, если для конечного разбиения отрезка [0, T ] существуют

случайные величины , где -измерима, а -измерима, , такие, что где

Для простых функций стохастический интеграл определяем равенством

и, так как , то

P - п. н.

Для стохастического интеграла от простой функции будем использовать также обозначение .

Очевидно, что

,

где

Отметим, теперь основные свойства стохастических интегралов от простых функций:

P - п. н..

P - п. н. при

- P - п. н. непрерывная по t функция,

P - п. н.,

P - п. н., где простые функции.

Действительно, так как , то имеем

(9)

Рассмотрим первую сумму правой части равенства (9), в силу свойства K^* условного математического ожидания (смотри §12 главы 1) и свойства iii) винеровского процесса, имеем

.

Поэтому, имеем

(10)

Рассмотрим вторую сумму правой части (9). Воспользуемся опять свойством K^* условного математического ожидания и свойствами винеровского процесса, имеем учитывая, что

Здесь мы учли тот факт, является мартингалом относительно меры Р. Значит

. (11)

Таким образом утверждение следует из равенств (9) – (11)

Если для всех , то P -п.н. для любого .

Процесс - прогрессивно измерим. Это утверждение следует из теоремы 1 главы 3 и, в частности, -измерим при каждом .

.

Действительно, из определения стохастического интеграла от простой функции имеем:

Заметим, что для любого j в силу -измеримости , имеем

Отсюда следует утверждение.

2.4. Определим стохастический интеграл для функции из класса .