![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
2.3. Определение. Функция называется простой, если для конечного разбиения
отрезка [0, T ] существуют
случайные величины , где
-измерима, а
-измерима,
, такие, что
где
Для простых функций стохастический интеграл
определяем равенством
и, так как , то
P - п. н.
Для стохастического интеграла от простой функции будем использовать также обозначение
.
Очевидно, что
,
где
Отметим, теперь основные свойства стохастических интегралов от простых функций:
P - п. н..
P - п. н. при
- P - п. н. непрерывная по t функция,
P - п. н.,
P - п. н., где
простые функции.
Действительно, так как , то имеем
(9)
Рассмотрим первую сумму правой части равенства (9), в силу свойства K* условного математического ожидания (смотри §12 главы 1) и свойства iii) винеровского процесса, имеем
.
Поэтому, имеем
(10)
Рассмотрим вторую сумму правой части (9). Воспользуемся опять свойством K* условного математического ожидания и свойствами винеровского процесса, имеем учитывая, что
Здесь мы учли тот факт, является мартингалом относительно меры Р. Значит
. (11)
Таким образом утверждение следует из равенств (9) – (11)
Если для всех
, то P -п.н.
для любого
.
Процесс - прогрессивно измерим. Это утверждение следует из теоремы 1 главы 3 и, в частности,
-измерим при каждом
.
.
Действительно, из определения стохастического интеграла от простой функции имеем:
Заметим, что для любого j в силу -измеримости
, имеем
Отсюда следует утверждение.
2.4. Определим стохастический интеграл для функции из класса .
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 272 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!