Теорема Лагранжа

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что знаменатель левой части формулы не обращается в ноль. Если допустить, что g(b) = g(a), то по теореме Ролля для функции g(x) найдется точка x Î (a, b), в которой g ' (x) = 0. А это противоречит условию, что g ' (x) ≠ 0 на (a, b).

Рассмотрим функцию

Функция F(x) на [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля: F(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), и, кроме того, на концах интервала принимает равные значения F(a) = F(b) = 0. По теореме Ролля для F(x) существует точка c Î (a, b), такая,что F ' (c) = 0. Так как ,

То

Откуда, учитывая, что g '(c) ≠ 0, следует искомое соотношение.