Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называют выражение вида , где , – многочлены степеней n и m степеней соответственно

Рациональной дробью называют выражение вида , где , – многочлены степеней n и m степеней соответственно. Если , рациональная дробь называется правильной, в противном случае – неправильной.

Если дробь неправильная, из нее можно выделить целую часть, разделив числитель и знаменатель.

Например, – неправильная рациональная дробь.

Выполняем деление:

-
-	-1
-
	14x+8 - остаток

Таким образом, неправильную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции (многочлена) и правильной дроби:

Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих четырех типов:

,

,

,

.

Где A, B, C, a, p, q – числа, ,

Покажем на примерах, как интегрируются дроби каждого типа.

Дробь 1-го типа:

.

Дробь 2-го типа:

.

Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл

.

План решения.

1. Введем обозначения:

,

.

Сравним степени числителя и знаменателя .

Если подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, т.е. степень числителя больше или равна степени знаменателя , то сначала выделяем целую часть рациональной функции, поделив числитель на знаменатель:

Здесь многочлен – остаток от деления на , причем степень меньше степени .

2. Разложим правильную рациональную дробь

на элементарные дроби. Если ее знаменатель имеет простые вещественные корни , т.е. , то разложение на элементарные дроби имеет вид

.

3. Для вычисления неопределенных коэффициентов приводим к общему знаменателю дроби в правой части равенства, после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в числителях слева и справа. Получим систему уравнений с неизвестными, которая имеет единственное решение.

4. Интегрируем целую часть (если она есть) и элементарные дроби, используя табличные интегралы, и записываем ответ

,

где – многочлен степени .