Теорема о промежуточном значении непрерывной функции

Теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции в математическом анализе и общей топологии – это утверждение о том, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любые значения между ними.

Формулировка:

Пусть дана непрерывная функция на отрезке . Пусть также , и ограничения общности предположим, что f(a)=A<B=f(b). Тогда для любого существует такое, что f(c)=C.

Доказательство:

Рассмотрим функцию g(x)=f(x)-C. Она непрерывна на отрезке [a,b] и g(a)<0, g(b)>0. Покажем, что существует такая точка , что g(c)=0. Разделим отрезок [a,b] точкой x₀ на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x₀)≠0 и нужная точка c=x₀ найдена, либо g(x₀)≠0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g(x) принимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше.

Обозначив полученный отрезок [a₁,b₁], разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке C, либо получим последовательность вложенных отрезков [a_n,b_n] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a_n)<0<g(b_n).

Пусть c – общая точка всех отрезков [a_n,b_n]n=1,2, … Тогда c=lima_n=limb_n, и в силу непрерывности функции g(x): g(c)=limg(a_n)=limg(b_n).

Поскольку:

limg(a_n)≤0≤limg(b_n) получим, что g(c)=0.

ПРОИЗВОДНАЯ