Доказательство. Пусть f(x0)>0. т.к. f(x)- непрерывна "e>0 $d>0 : для "x из ½x-x0|<d Þ ½f(x)-f(x0)½<e

Пусть f(x₀)>0. т.к. f(x)- непрерывна "e>0 $d>0: для "x из ½x-x₀|<d Þ ½f(x)-f(x₀)½<e. Возьмем e= , тогда для этого e $d: "x из ½x-x₀½<d Þ .

Таким образом

$e= , $de>0: "x Î U(x₀,d) Þ 0<f(x). Здесь U(x₀,d)- окрестность, где функция f(x) сохраняет тот же знак, что и в точке х₀.

Для случая f(x₀)<0 доказательство аналогично .