Теорема о переходе к пределу в неравенстве

Теорема. Если f(x)≤g(x), для всех х из некоторой окрестности точки х₀ кроме, быть может. Самой точки х₀ и функции f(x) и g(x) в точке x₀ имеют конечные пределы А и В, то А≤В.

Число А называют пределом функции y=f(x) в т. x₀ и при этом пишут А= f(x), если для "(любого числа) e >0 (сколь угодно малого) $(найдется число) d_e >0 (зависящее от e) такое, что для "x из неравенства: 0<½x-x₀½<d_eÞ½f(x)-A½<e.

Число А (В,С) называют пределом функции f (x) при х®¥ (х®+¥, х®-¥), и при этом пишут A= (B= ,C= )если для "e >0 $ число N_e>0 такое, что при "½x½>N_e ("x>N_e, "x<-N_e) выполняется неравенство ½f(x)-A½<e (½f(x)-B½<e,

½f(x)-C½<e).

Определение: окрестностью точки А называют любой интервал (a:b), содержащий данную точку. Проколотой окрестностью точки А называется любая точка из окрестности, кроме точки А.