Доказательство. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел

Вопрос 1

Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.

Пусть функция y=f(x) определена хотя бы в проколотой окрестности точки х₀.

Определение.

Функция y=f(x) называется ограниченной в т. х₀, если $k >0 и d >0 такие, что из неравенства 0<½ х-х₀½<d Þ ½f(x)½ <k.

Все множество ограниченных при х®х₀ функций называют классом ограниченных функций и обозначают О(1), х®х₀ (О- большое от единицы). Справедлива следующая теорема.

Теорема.

Если существует предел f(x) при х®х₀,то f(x)-ограничена в т. х₀ (f(x)ÎО(1), х®х₀)

Доказательство.

Из по критерию существования предела, что f(x)=A+о(1), x®x₀. Тогда, т.к. о(1)®0, х®х₀, то½о(1)½<1, значит ½f½=½A+о(1)½<½A½+1=K

Значит по определению f(x)Î O (1), x®x₀.

Ограниченные функции обладают следующими свойствами:

1) Сумма ограниченных при x®x₀ функций, есть функция ограниченная.

2) Произведение ограниченных при x®x₀ функций есть функция ограниченная.

3) Если f(x)Îо(1), x®x₀, то f(x)ÎО(1), x®x₀, т.е. ограничена.

Определение: число А называется пределом y=f(x) в точке х₀ (или при х → х₀), если для любой последовательности допустимых значений х_n,сходящейся к х_0, последовательность соответствующих значений функции f(x_n), сводится к числу А.