Три условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования и правила вычисления первообразной функции. Вывод

1) Пусть условие (13) выполняется и даны контуры (L₁), (L₂), соединяющие точки А и В. Построим замкнутый контур (L), идущий из А в В по (L₁) и из В в А по (L₂), причем, (L₂) проходим в обратном направлении. Тогда, 0 = = - , т.е. =

2) Пусть условие (14) выполняется, тогда

Pdx + Qdy + Rdz = dU = U_t`(x(t),y(t),z(t)) dt = U(t₂) – U(t₁) = U(B) – U(A) (16)

т.е. значение интеграла зависит только от координат точек А и В.

3) Из определения полного дифференциала dU = dx + dy + dz и формулы (14) следует, что функции P, Q, R являются частными производными U

P = , Q = , R =

Из равенства смешанных производных = и т.д. следует (15).

В случае выполнения этих условий вычисляют первообразную функцию U(x,y,z) по полному дифференциалу. Для этого проводят интегрирование dU от А(x₀,y₀,z₀) до В(x,y,z) по контуру, состоящему из прямых || координатным осям и получают сумму трех простейших определенных интегралов, которая равна U(x,y,z) – U(x₀,y₀,z₀) согласно (16).

Прямая A(x₀,y₀,z₀)C(x,y₀,z₀): y, z -const, dy = dz = 0, J J_AC =

Прямая C(x,y₀,z₀)D(x,y,z₀): x, z -const, dx = dz = 0, J J_CD =

Прямая D(x,y,z₀)B(x,y,z): y, x -const, dy = dx = 0, J J_DB =

В результате получаем J_AB = J_AC + J_CD + J_DB = U(x,y,z) – U(x₀,y₀,z₀) или формулу для вычисления первообразной функции

U(x,y,z) = + + + const (17)