Вывод формулу Грина

Рассмотрим интеграл 2-ого рода по замкнутому контуру L на плоскости

J = P(x,y) dx + Q(x,y) dy (18)

Покажем, что интеграл (8) можно свести к двойному интегралу по области D, ограниченной контуром L. Во многих случаях такая замена может существенно упростить решение задачи.

Даны область D правильная в направлении оси Оу a < x <b, y₁(x) < y < y₂(x) и функции P(x,y), P(x,y) / y непрерывные в этой области. Вычислим двойной интеграл

J = = (19)

Его внутренний интеграл J_в является интегралом от дифференциала и легко вычисляется

J_в = = = P(x,y₂(x)) - P(x,y₁(x))

В результате J распадается на сумму двух интегралов

J = P(x,y₂(x)) dx - P(x,y₁(x)) dx = P(x,y) dx - P(x,y) dx =

= - P(x,y) dx - P(x,y) dx

которые соответствуют криволинейному интегралу от функции P(x,y) вдоль кривых AB и MN. Значение этого интеграла вдоль прямых BM, NA Pdx = Pdx = 0, т.к. dx = 0 в этом случае. Поэтому справедливо равенство

J = - Pdx - Pdx - Pdx - Pdx = - Pdx

т.е. двойной интеграл J (10) по области D равен криволинейному интегралу по замкнутому контуру, ограничивающему эту область. Направление обхода положительное.

= - P(x,y)dx (20)

Т.к. произвольную область D всегда можно представить в виде суммы правильных областей, то равенство (12) справедливо для D произвольной конфигурации.

Для области D правильной в направлении оси Ох и функций Q(x,y), Q/ x непрерывных в D получается равенство аналогичное (20)

= Q(x,y)dx (21)

Объединим (20) и (21) и получим формулу Грина

P(x,y)dx + Q(x,y)dy =

29. Опр. Скалярного поля. линии уровня поверхности уровня.

Опр. Скалярным полем (с.п.) наз. совокупность двух множеств: множества точек пространства M и множества чисел соответствующих этим точкам, которые определяются функцией U(M). Функция U(M) наз. функцией поля.

Если М D R², то поле наз. плоским, если М R³ - пространственным. Поле наз. стационарным, если U(M) не зависит от времени. Точки поля с одинаковыми значениями функции образуют линии уровня на плоскости U(x,y) = C и поверхности уровня в пространстве U(x,y,z) = C

30. Производная по направлению скалярного поля

Имеем с.п. функции U(x,y,z) и выделенную в пространстве точку M(x,y,z), через которую проходит прямая L в направлении, заданном единичным вектором

= {cos , cos , cos }. Определим, как будет меняться значение с.п. при перемещении вдоль L от M к произвольной точке M₁.

Опр. Производной с.п. U(x,y,z) в точке M(x,y,z) по направлению наз. предел отношения приращения функции к пройденному пути по направлению

lim [U(M₁) – U(M_] / |MM₁| = при M M₁ (20)

Теорема. Если функция с.п. U(x,y,z) дифференцируема в некоторой области и

= {cos , cos , cos }, то

= cos + cos + cos (21)

Док-во. Отрезок |MM₁| = есть диагональ прямоугольного параллепипеда со сторонами x, y, z. Он равен = . Координаты точки М₁ можно записать в виде M₁(x+ x, y+ y, z+ z) = M₁(x + cos , y + cos , z + cos ).

По определению приращение дифференцируемой функции нескольких переменных можно представить в виде

+ = + ,

где lim = 0 при 0. Перейдем к этому пределу в (20) U/ l = lim

и получим формулу (21).