Свойства двойного интеграла. Теорема о среднем

1. Постоянный множитель выносится за знак интеграла

а f(x,y) dx dy = а f(x,y) dx dy

т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.

2. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

[f(x,y) + g(x,y)]dx dy = f(x,y) dx dy + g(x,y) dx dy

т.к. такая интегральная сумма разделяется на две части.

3. Аддитивность области интегрирования. Если D = D₁ + D_{2 ,} то

f(x,y) dx dy = f(x,y) dx dy + f(x,y) dx dy

4. Интеграл от функции f(x) = 1 численно равен площади области интегрирования D

S = dx dy

5. Теорема о среднем. f(x,y) dx dy = f() S

Двойной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение площади области интегрирования S на значение функции f() в некоторой точке, т.к. для любого цилиндрического бруса с искривленным верхом можно построить брус постоянной высоты, но с таким же основанием S и объемом V, т.е. f() = V/S. Точка с координатами () всегда существует в области D.