Общие свойства поверхностей

Пусть некоторая линия L в пространстве задана векторным уравнением = (t) = = x(t) i + y(t) j + z(t) k, t₁ < t < t₂ .

Приращение радиус-вектора = (t+ t) – (t) определяет прямую проходящую через 2 точки L, которая при t 0 превращается в касательную. Направление касательной в каждой точке кривой L задает производная d /dt = x`<sub>t</sub> i + y`_t i + z`_t k = (t).

Опр. Касательной плоскостью к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z) = 0, в точке М₀, наз. плоскость, в которой расположены касательные ко всем линиям, лежащим на поверхности и проходящим через М₀.

Пусть L проходит по поверхности F(x,y,z) = 0 через точку M₀. Тогда для всех точек кривой справедливо равенство F(x(t), y(t), z(t)) = 0. Это функция от t и её производная равна нулю

Данное выражение можно переписать как скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов: = 0, где – направляющий вектор касательной к L и

={ } (1)

Поскольку для любой линии, проходящей по поверхности через М₀,то по определению, является нормальным вектором касательной плоскости к поверхности F(x,y,z) = 0 в произвольной точке М₀. Касательная плоскость в т. М₀ существует, если координаты непрерывны в ее окрестности и одновременно не равны 0.

Если уравнение поверхности G имеет явный вид z = f(x,y) и не содержит особых точек, то такая поверхность наз. гладкой поверхностью. У такой поверхности можно различать верхнюю и нижнюю стороны, а также границу. Если поверхность ограничивает тело, то она имеет внутреннюю и внешнюю стороны.

Из уравнения f(x,y) – z = 0 определим координаты и его направляющие косинусы

(2)

где и знак вектора зависит от выбора стороны поверхности. Если выбрать , то угол - острый и сторона поверхности будет верхней.

При перемещении по поверхности положение касательной плоскости и ее вектора непрерывно изменяется. Если по произвольному контуру L на поверхности G выйти из точки М, вернуться в нее и при этом направление вектора не изменится на противоположное, то такая поверхность наз. двухсторонней. Лист Мебиуса пример односторонней поверхности.