Определение площади гладкой поверхности

Понятие площади определено только для геометрических фигур на плоскости. Это количество квадратиков стандартного размера, которые умещаются на фигуре. Определение площади кривых поверхностей требует специального подхода и решается методом интегральной суммы.

Имеем гладкую поверхность G. Ее проекция на плоскость хОу занимает область D. 1) Разделим поверхность G сеткой линий на m участков G₁, G₂,.., G_m. 2) На каждом G_i выделим точку М_i, проведем через М_i касательную плоскость к G и спроектируем на нее точки участка G_i. В результате получим плоскую фигуру G_i* с площадью S_i и вся гладкая поверхность покроется «многогран- ником». 3) Общую площадь «многогранника» определяет интегральная сумма . 4) Переход к пределу

m дает точное значение для площади криволинейной поверхности G

34. Задача о массе поверхности

Пусть на гладкой поверхности z = z(x,y) распределена масса с поверхностной плотностью = f(x,y,z). Найти массу всей поверхности.

Задачу решаем методом интегральной суммы аналогично предыдущей задаче. Отличие заключается только в том, что в интегральной сумме (3) каждое S_i дополнительно умножаем на плотность, которую считаем постоянной и равной = f( M_i)

(5)

Опр. Поверхностным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y,z) по поверхности z = z(x,y) наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения поверхности на малые участки и проектирования их на касательные плоскости.

Для вычисления интеграла элемент поверхности dS выразим через его проекцию на плоскость хОу: , и в функции f(x,y,z) переменную z заменим на z(x,y), т.е. перейдем к значениям функции на самой поверхности.

(6)