Свойства тройного интеграла. Теорема о среднем

Постоянный множитель выносится за знак интеграла

а f(x,y,z) dx dy dz = а f(x,y,z) dx dy dz

т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.

2⁰. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

[f(x,y,z) + g(x,y,z)]dx dy dz = f(x,y,z) dx dy dz + g(x,y,z) dx dy dz

т.к. такая интегральная сумма разделяется на две части.

3⁰. Аддитивность области интегрирования. Если V = V₁ + V_{2 ,} то

f(x,y,z) dx dy dz = f(x,y,z) dx dy dz + f(x,y,z) dx dy dz

4⁰. Интеграл от функции f(x,y,z) = 1 численно равен объему области интегрирования V

V = dx dy dz

5⁰. Теорема о среднем. f(x,y,z) dx dy dz = f() V

Тройной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение объема, области интегрирования V, на значение функции f() в некоторой точке, т.к. любому телу с переменной плотностью всегда можно сопоставить тело с постоянной плотность f() = m/V при таком же объеме V и массе m. Точка с координатами () всегда существует в области V.

Задача о вычислении массы тел распределенных в доль кривой. Опр. криволинейного интеграла 1-ого рода

Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x), [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t₁<t<t₂). Вдоль кривой распределены массы с плотностью (M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.

1) Операция разбиения. Разделим кривую L на n участков некоторыми точками А₀ = А, А₁,..., А_n = В. Соединим соседние точки отрезками А_iА_i+1 длиной s_i и выделим на каждом из них некоторую точку М_i().

2) Приближенно масса отдельного отрезка равна m_i = (M_i) s_{i ,}

3) Массу всех отрезков определяет интегральная сумма

m(n) = (M_i) s_i (1)

4) Переход к пределу n дает точное решение задачи.

Главные особенности интегральной суммы (1): 1) включает не только параметры кривой L, но и дополнительную функцию двух переменных f(x,y); 2) приобретает физический смысл.

Опр. Криволинейным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y) вдоль кривой L наз. предел интегральной суммы, полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является длина кривой s.

J = lim f() s_i f(x,y) ds f(x,y) ds (2)

n

Задача о вычислении работы по перемещению тела в поле переменных сил. Опр. криволинейного интеграла 2-ого рода

Пусть вдоль кривой L движется тело и в каждой точке траектории М на него действует сила = {P(M), Q(M), R(M)}. Cмещение тела в окрестности точки М определяет вектор d = = {dx, dy, dz} (направление касательной). Тогда работа по перемещению тела в окрестности точки М равна скалярному произведению векторов A(M) = d = P(M)dx + Q(M)dy +R(v)dz. Суммирование по всем точкам и переход к пределу n приводят к криволинейному интегралу

lim = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz

Физический смысл криволинейного интеграла 2 рода – работа по перемещению тела вдоль кривой в поле переменных сил.

Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы, полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является проекция длины кривой на ось Оx или Оу или Oz.

J = lim f(M_i) x_i f(x,y,z) dx; J = lim f(M_i) y_i f(x,y,z) dy

J = lim f(M_i) z_i f(x,y,z)