Правила вычисления двойных интегралов в полярной системе координат

В интегральной сумме двойного интеграла имеем элементы площади dxdy. В системе uOv ему будут соответствовать элементы площади |J| dudv, где коэффициент искажения плоскости J (якобин) определяется формулой

| J | = (8)

После перехода к новой системе координат имеем

f(x,y) dx dy = f(x(u,v),y(u,v)) |J| du dv (9)

В полярной системе координат переменные r, j имеют наглядный геометрический смысл – длина радиус-вектора и полярный угол. Координатную сетку образуют выходящие из точки лучи и концентрические окружности.

(10)

Обратное преобразование: r = ,

j = arc tg (y/x).

Вычислим якобиан перехода к полярной системе координат

J = = r (11)

Применять переход к полярным координатам удобно в случаях, когда D является кругом с центром в начале координат или его сектором – круговым или криволинейным, а также, если в функцию f(x,y) переменные входят в виде x² + y².

D – круг радиуса R f(x,y) dxdy = (12)

D – круговой сектор f(x,y) dx dy =

D – криволинейный сектор, замкнутый одной линией с полярным уравнением

r = r(j),

f(x,y) dx dy = (13)

D – криволинейный сектор, замкнутый двумя линиями с полярными уравнениями

r = r₁(j), r = r₂(j),

f(x,y) dx dy = (14)

Задача о вычислении массы тела переменной плоскости. Опр. тройного интеграла.

Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью r(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

1. Операция разбиения. Разделим V на n элементарных объемов D V₁, D V₃,V₃,..., D V_n и в пределах каждого из них выделим точку M_i().

2. Масса элементарного объема приближенно равна r() D V_i.

3. Приближенное значение массы всего тела определяет интегральная сумма

m(n) = r() D V_i (15)

4. В пределе, когда n ® ¥ и все D V_i ® 0, получаем точное решение задачи

m = lim r () D V_i º

Опр. Тройным интегралом от функции трех переменных f(x,y,z) по объему V наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения объема V на элементарные области.

J = = (16)

Физический смысл тройного интеграла – масса тела переменной плотности.