Закон больших чисел. Закон больших чисел(с док-вом) Пусть S - число успехов в серии из n независимых испытаний в схеме Бернулли с вероятностью успеха p

Закон больших чисел(с док-вом) Пусть S - число успехов в серии из n независимых испытаний в схеме Бернулли с вероятностью успеха p, 0<p<1. Тогда при любом t>0 справедливо равенство Доказательство Как отмечалось ранее, MS = np, DS =npq. Имеем . Применим неравенство Чебышева, положив в нем Х=S и что и т.д. Закон больших чисел утверждает,что при больших n и при сколь угодно малых ε разность между частотой успеха S_n /n и вероятностью успеха в каждом испытании p по модулю меньше ε с вероятностью, близкой к 1.

Пример В большом городе в год рождается 20000 детей. Считая вероятность рождения мальчика p=0,5 найти такое число t, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать,что число рожденных мальчиков превышает число девочек не более чем на t.

Решение. Решаем задачу по схеме Бернулли с n=20000,p=0,5.Пусть S -число рождений мальчиков, тогда (n- S )-число рождений девочек; разность между ними равна(2 S_n - n).Найдем такое t, чтобы P{|2 S -n |>t} . Воспользуемся неравенством Чебышева: . Выбираем t из условия