Свойства плотности распределения

Свойство 1: Плотность распределения – неотрицательная функция .

Доказательство: Функция распределения – неубывающая функция, следовательно, её производная - функция неотрицательная. Геометрически это означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью Ox, либо на этой оси. График плотности распределения называют кривой распределения.

Свойство 2: Несобственный интеграл от плотности распределения в переделах от до равен 1.

Доказательство: Несобственный интеграл выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (, ). Очевидно, такое событие достоверно, следовательно, вероятность его равна 1.

Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b:

Доказательство: Используем соотношение то, что Таким образом, Так как , то окончательно получим => Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, кривой распределения и прямыми x=a и x=b.