Свойства дисперсии

Свойство 1: Дисперсия постоянной величины C равна нулю:

Доказательство: По определению дисперсии, Пользуясь тем, что математическое ожидание постоянной равно самой постоянной, получим: Итак,

Свойство 2: Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

Доказательство: По определению дисперсии имеем

Пользуясь тем, что постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, получим: Итак,

Свойство 3: Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

Доказательство: По формуле вычисления дисперсии имеем

Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математического ожидания суммы нескольких величин и произведения двух независимых случайных величин, получим

Итак,

Следствие 1: Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Следствие 2: Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

Доказательство: Величины C и X независимы, следовательно имеем Но так, как Следовательно имеем

Свойство 4: Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Доказательство: В силу третьего свойства имеем По второму свойству, Или